地球表面的春季和秋季为何越来越短？

通常认为“洛特卡-福特拉”方程是温室效应的最简单描述。这一方程最初用于描述“猎食者-被猎食者”两物种的生态变迁。

　　方程（1）是带有时滞的“洛特卡-福特拉”二元系统逐渐发散：

　　无时滞的“洛特卡-福特拉”方程：

　　更真实的生态链是三物种的，常用的案例是：狼吃羊，羊吃草，NetLogo仿真模型。或者，“病毒-宿主”生态变迁，更真实的是“强免疫力宿主-病毒-弱免疫力宿主”三物种模型，参阅我的疫情研究报告。

　　在“洛特卡-福特拉”方程里，两个状态变量分别代表“地表温度”和“碳排放量”。温室效应是碳排放量的时滞函数，横轴表示地球四季气温，纵轴表示滞后的气温。由冬季转入夏季，气温沿横轴由1.5增加至2.5，由于温室效应，地表温度滞后增加。气温从1.5增至2.5，地表温度停留在0.5以下。气温从2.5增至3.5，地表温度从0.5逐渐增至1.0。由夏季转入冬季，气温从3.5降至2.0，地表温度从0.8升至2.0，气温继续降低，从2.0降至0，地表温度逐渐从2.0降至1.0。时滞越长，由冬季转入夏季的过渡过程即春季就越短。同理，时滞越长，由夏季转入冬季的过渡过程即秋季就越短。时滞超过阈值，如上图所示，闭环消失，系统发散，这就意味着过渡过程趋于完全消失，要么冬季延长至无限，要么夏季延长至无限。

　　通常认为，人类经济活动是碳排放失控的主因，并且，人类有保护环境的能力。这就意味着，与狼和羊的两物种模型不同，温室效应其实只有一个主角，就是人类自己的生活方式，这是生态系统里唯一的自变量。

　　类似的生态系统，是有机体内的正常细胞与癌变细胞。这里，其实只有一个主角，就是有机体自己的生活方式。科学界晚近出现的共识是，在衰老因素之外，癌症与心血管疾病都是“可治愈的食源性疾病”。当然，改变饮食习惯并不容易，故而，虽然人体细胞生态（例如肠道菌群）随饮食习惯的改变而改变，但有时滞。

　　哮喘病、白血病、以及包括温室效应在内的许多相似现象的数学描述：

　　高阶非线性时滞方程可导致混沌现象，例如，哮喘病（血氧饱和度紊乱）和白血病（血白细胞数量紊乱）。

　　经典文献，Mackey-Glass equation，1977，《科学》杂志：

　　上图的参量是：a=1/4，b=1/10，τ=15，n=10。此处，幂指数足够大，假设这样高阶的非线性，是因为血液的二氧化碳含量减少程度敏感依赖于呼吸。时滞，因为血氧饱和度是呼吸行为的时滞函数。时滞依赖于多种因素（遗传、生化、神经），时滞超过阈值之后，导致哮喘病。类似地，血白细胞计数，是造血干细胞活动的时滞函数。特异性免疫的正常时滞不超过14天，病态时滞常常超过24天。

　　上图，出现混沌，时滞参量从15增加至17，其余参量不变。混沌反映通常所说的“白血病”（血白细胞增生或紊乱）。

　　上图，参量设置：a=1/3，b=1/10，τ=9，n=17。矩形出现棱角是因为幂指数从10增加至17，若增加至39，棱角将变为针锥形的角。下两图有不同的时滞及其它参量数值，可见曲线形状对阈值范围内的参量变动不敏感。

　　用于描述温室效应：

　　系统的唯一状态变量x，血氧饱和度或白细胞计数，现在是人体感觉的环境温度。这一温度的波动应在人体感觉舒适的范围之内，称为“内平衡态”，简称“平衡态”。假设状态变量x是环境温度偏离平衡态的幅度，偏离平衡态的幅度足够大，就诱致调控行为。微观行为之一是安装室内空调，这类微观行为的宏观集结导致环境温度上升，整体而言并不理性。整体而言理性的调控行为之一是减少碳排放总量，由此导致的环境温度向着平衡态的回归，即温度偏离平衡态的幅度减小。x(t)是非线性时滞函数，时滞越长，系统就越容易陷入混沌状态。

　　考虑二维平面里的曲线，假设全球碳排放协议在t时刻有效实施导致环境温度偏离平衡态的幅度x(t)改变，所需时长为5，x(t-5)。上图，横轴代表x(t)，纵轴代表x(t-5)。当x(t)达到1.1的时候，诱致大范围的碳排放协商。x(t)达到1.3的时候，全球达成有效共识。这时，滞后的温度偏离平衡态的幅度x(t-5)达到1.0。宏观调控的前期只是缓解温度上升，滞后的温度偏离x(t-5)从1.0升至1.3。宏观调控的后期，滞后的温度偏离x(t-5)下降，从1.3降至1.0，而这时x(t)已降至0.65，气候变冷，于是诱致宏观调控结束，滞后的温度偏离x(t-5)逐渐降至0.65，此时温度偏离平衡态的程度x(t)已升至1.1，再次诱致大范围协商。

　　状态变量在三维空间里的轨迹是可旋转的，它在二维平面的投影或许更接近“洛特卡-福特拉”方程的二维图形。由绘图指令可见，三维图形的主旨是凸显中间环节的时滞效应。继续假设温度偏离平衡态的程度是x(t)，宏观调控实施导致x(t)改变所需时长为8，再假设全球达成共识需要的时长为5，于是温度滞后的总时长是13，x(t-13)。如上图所示，沿着底面的横轴，x(t)达到1.1的时候诱致大范围协商活动。全球碳排放协议有效实施时，x(t)已达1.3。宏观调控的前期，x(t-13)沿纵轴继续上升，直到1.3，然后下降至1.1，而这时x(t)已降至0.65，气候变冷，于是诱致宏观调控结束，滞后的温度偏离x(t-13)逐渐降至0.65，此时温度偏离平衡态的程度x(t)已升至1.1，再次诱致大范围协商。

　　以上图示，基于应用软件“mathematica 9.0”的教学工作簿范本“求解非线性时滞微分方程”的各种算法。导入“mathematica 12.0”，调整参量并运行数次至数十次，直到获得使参量设置符合常识的曲线形状。